Mengenlehre

Als Menge wird in der Mathematik ein abstraktes Objekt bezeichnet, das aus der Zusammenfassung einer Anzahl einzelner Objekte hervorgeht. Diese werden dann als die Elemente der Menge bezeichnet. Mengen: Grossbuchstaben; A, B, C, ... Elemente: Kleinbuchstaben; a, b, c, ... $p \in A$ Negation: $p \not \in A$

Aufschreibearten

Alle Elemente auflisten: $A = {a, b, c, x, y, z}$ $\ B = {1,2,3,4}$ $\ C={1,2,a,b,c}$

Eigenschaften festlegen: $B={n:n \in \mathbb{Z} \land n > 5 }$ B ist die Menge der Elemente n; wofür gilt, n ist eine ganze Zahl grösser als 5.

Extensionalitätaxiom

Zwei Mengen A und B enthalten selbe Elemente. $A=B$ Negation: $A \not = B$

Leere Mengen

Bezechnung: $\emptyset$ ${ }$ Elemente der betrachteten Menge => Universalmenge

Teilmengen

A & B sind zwei Mengen Wenn alle Elemente von A auch in Element B: $A \subseteq B$ Falls keine Teilmenge: $A \not \subseteq B$

Vereinigung

Alle Elemente von A und B: $A \cup B$ $A \cup B := { x:x \in A \lor x \in B } $

Durchschnitt

Nur Elemente in beiden Mengen: $A\cap B$ $A \cap B := {x:x \in A \lor x \in B}$

Disjunktion

Wenn der Durchschnitt zweier Mengen A und B leer ist: $A \cap B = \emptyset$

Komplement

$A \subseteq U$ kann auch als $A^C$ geschrieben werden $A^C := { x:x \in U \lor x \not \in A }$

Differenz

Wenn Differenz zwischen A und B ist alles in A, was nicht zu B gehört: $A \backslash B$ $A \backslash B := {x:x \in A \land x \not \in B}$ [ Pasted image 20231024102640.png ] (https://docs.lucanoahcaprez.ch/uploads/images/gallery/2023-10/pasted-image-20231024102640.png)

Potenzmenge

Alle Teilmengen eines Mengensystems: S = {1, 2} $P(S) = { \emptyset, {1}, {2}, {1,2} }$ N Elemente enthalten: $2^n$ Elemente.

Partition

Aufteilung in nicht leere Teilmengen, zB. Partition A von S -> ${A_{i}}$. Dabei gilt:

Teilmengen $A_{i}$ verschieden von $\emptyset$
Alle $A_{i}$ ergeben S
Paarweise disjunktiv; $A_{i} \cap A_:{j} = \emptyset$, falls $i \not = j$

Geordnete Paare

Bei Elementen einer Menge spielt die Reihenfolge keine Rolle: ${a,b} = {b,a}$ Bei geordneten Paaren hingegen gilt die Reihenfolge zwingen. $(a, b) = (c, d)$ Diese sind nur dann gleich wenn: a = c und b = d

Kartesisches Produkt

Menge aller geordneten Paare (x, y) mit $x \in A$ und $y \in B$. Bezeichnung: $A \times B$ $A \times B := {(x,y): x \in A \land y \in B}$

n-Tupel

Bestehend aus n geordneten Elementen $(a_{1}, a_{2}, a_{c}, \dots, a_{n})$ Zwei n-Tupel sind genau dann gleich: $a_{1}=b_{1} \land a_{2} = b_{2} \land a_{3} = b_{3} \land \dots \land a_{n} = b_{n}$ Bei folgenden Mengen $A_{1}, A_{2}, ... ,A_{n}$ bezeichnen Mengen aller n-Tupel $(a_{1}, b_{2}, ..., c_{n})$ mit der folgenden Eigenschaft $a_{1} \in A_{1}, a_{2} \in A_{2}, ..., a_{n} \in A_{n}$ diese Menge $A_{1} \times A_{2} \times ... \times A_{n}$

Endliche Mengen

Endlich bedeutet, dass die Menge m (natürliche Zahl) verschiedene Elemente hat. Anderfalls ist die Menge unendlich. Bezeichnung der Anzahl Elemente der Mengen: $|A|$ Wenn A und B endliche Mengen sind, dann ist $A \cup B$ ebenfalls enldich: $|A\cup B| = |A|+|B|-|A\cap B|$