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Mengenlehre

Als Menge wird in der Mathematik ein abstraktes Objekt bezeichnet, das aus der Zusammenfassung einer Anzahl einzelner Objekte hervorgeht. Diese werden dann als die Elemente der Menge bezeichnet. Pasted image 20231014095256.png Mengen: Grossbuchstaben; A, B, C, ... Elemente: Kleinbuchstaben; a, b, c, ... $p \in A$ Negation: $p \not \in A$

Aufschreibearten

Alle Elemente auflisten: $A = {a, b, c, x, y, z}$ $\ B = {1,2,3,4}$ $\ C={1,2,a,b,c}$

Eigenschaften festlegen: $B={n:n \in \mathbb{Z} \land n > 5 }$ B ist die Menge der Elemente n; wofür gilt, n ist eine ganze Zahl grösser als 5.

Extensionalitätaxiom

Zwei Mengen A und B enthalten selbe Elemente. $A=B$ Negation: $A \not = B$

Leere Mengen

Bezechnung: $\emptyset$ ${ }$ Elemente der betrachteten Menge => Universalmenge

Teilmengen

A & B sind zwei Mengen Wenn alle Elemente von A auch in Element B: $A \subseteq B$ Falls keine Teilmenge: $A \not \subseteq B$

Vereinigung

Alle Elemente von A und B: $A \cup B$ $A \cup B := { x:x \in A \lor x \in B } $ Pasted image 20231024101106.png

Durchschnitt

Nur Elemente in beiden Mengen: $A\cap B$ $A \cap B := {x:x \in A \lor x \in B}$ Pasted image 20231024102057.png

Disjunktion

Wenn der Durchschnitt zweier Mengen A und B leer ist: $A \cap B = \emptyset$

Komplement

$A \subseteq U$ kann auch als $A^C$ geschrieben werden $A^C := { x:x \in U \lor x \not \in A }$ Pasted image 20231024102358.png

Differenz

Wenn Differenz zwischen A und B ist alles in A, was nicht zu B gehört: $A \backslash B$ $A \backslash B := {x:x \in A \land x \not \in B}$ [Pasted image 20231024102640.png] (https://docs.lucanoahcaprez.ch/uploads/images/gallery/2023-10/pasted-image-20231024102640.png)

Potenzmenge

Alle Teilmengen eines Mengensystems: S = {1, 2} $P(S) = { \emptyset, {1}, {2}, {1,2} }$ N Elemente enthalten: $2^n$ Elemente.

Partition

Aufteilung in nicht leere Teilmengen, zB. Partition A von S -> ${A_{i}}$. Dabei gilt:

  • Teilmengen $A_{i}$ verschieden von $\emptyset$
  • Alle $A_{i}$ ergeben S
  • Paarweise disjunktiv; $A_{i} \cap A_:{j} = \emptyset$, falls $i \not = j$

Geordnete Paare

Bei Elementen einer Menge spielt die Reihenfolge keine Rolle: ${a,b} = {b,a}$ Bei geordneten Paaren hingegen gilt die Reihenfolge zwingen. $(a, b) = (c, d)$ Diese sind nur dann gleich wenn: a = c und b = d

Kartesisches Produkt

Menge aller geordneten Paare (x, y) mit $x \in A$ und $y \in B$. Bezeichnung: $A \times B$ $A \times B := {(x,y): x \in A \land y \in B}$

n-Tupel

Bestehend aus n geordneten Elementen $(a_{1}, a_{2}, a_{c}, \dots, a_{n})$ Zwei n-Tupel sind genau dann gleich: $a_{1}=b_{1} \land a_{2} = b_{2} \land a_{3} = b_{3} \land \dots \land a_{n} = b_{n}$ Bei folgenden Mengen $A_{1}, A_{2}, ... ,A_{n}$ bezeichnen Mengen aller n-Tupel $(a_{1}, b_{2}, ..., c_{n})$ mit der folgenden Eigenschaft $a_{1} \in A_{1}, a_{2} \in A_{2}, ..., a_{n} \in A_{n}$ diese Menge $A_{1} \times A_{2} \times ... \times A_{n}$

Endliche Mengen

Endlich bedeutet, dass die Menge m (natürliche Zahl) verschiedene Elemente hat. Anderfalls ist die Menge unendlich. Bezeichnung der Anzahl Elemente der Mengen: $|A|$ Wenn A und B endliche Mengen sind, dann ist $A \cup B$ ebenfalls enldich: $|A\cup B| = |A|+|B|-|A\cap B|$

Einschluss-Ausschluss-Formeln

Pasted image 20231024155838.png