# Mengenlehre

Als Menge wird in der Mathematik ein abstraktes Objekt bezeichnet, das aus der Zusammenfassung einer Anzahl einzelner Objekte hervorgeht. Diese werden dann als die Elemente der Menge bezeichnet.
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Mengen: Grossbuchstaben; A, B, C, ...
Elemente: Kleinbuchstaben; a, b, c, ...
p∈A
Negation:
p∉A
## Aufschreibearten
Alle Elemente auflisten:
$A = \{a, b, c, x, y, z\}$
$B = \{1,2,3,4\}$
$C=\{1,2,a,b,c\}$

Eigenschaften festlegen:
$B=\{n:n \in \mathbb{Z} \land n > 5 \}$
B ist die Menge der Elemente n; wofür gilt, n ist
eine ganze Zahl grösser als 5.
## Extensionalitätaxiom
Zwei Mengen A und B enthalten selbe Elemente.
$A=B$
Negation:
$A \not = B$
## Leere Mengen
Bezechnung: $\emptyset$ $\{ \}$
Elemente der betrachteten Menge => Universalmenge
## Teilmengen
A & B sind zwei Mengen
Wenn alle Elemente von A auch in Element B:
$A \subseteq B$
Falls keine Teilmenge:
$A \not \subseteq B$
## Vereinigung
Alle Elemente von A und B:
$A \cup B$
$A \cup B := \{ x:x \in A \lor x \in B \} $
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## Durchschnitt
Nur Elemente in beiden Mengen:
$A\cap B$
$A \cap B := \{x:x \in A \lor x \in B\}$
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## Disjunktion
Wenn der Durchschnitt zweier Mengen A und B leer ist:
$A \cap B = \emptyset$
## Komplement
$A \subseteq U$ kann auch als $A^C$ geschrieben werden
$A^C := \{ x:x \in U \lor x \not \in A \}$
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## Differenz
Wenn Differenz zwischen A und B ist alles in A, was nicht zu B gehört:
$A \backslash B$
$A \backslash B := \{x:x \in A \land x \not \in B\}$
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## Potenzmenge
Alle Teilmengen eines Mengensystems:
S = {1, 2}
$P(S) = \{ \emptyset, \{1\}, \{2\}, \{1,2\} \}$
N Elemente enthalten: $2^n$ Elemente.
## Partition
Aufteilung in nicht leere Teilmengen, zB. Partition A von S -> $\{A_{i}\}$.
Dabei gilt:
* Teilmengen $A_{i}$ verschieden von $\emptyset$
* Alle $A_{i}$ ergeben S
* Paarweise disjunktiv; $A_{i} \cap A_:{j} = \emptyset$, falls $i \not = j$
## Geordnete Paare
Bei Elementen einer Menge spielt die Reihenfolge keine Rolle:
$\{a,b\} = \{b,a\}$
Bei geordneten Paaren hingegen gilt die Reihenfolge zwingen.
$(a, b) = (c, d)$
Diese sind nur dann gleich wenn:
a = c und b = d
## Kartesisches Produkt
Menge aller geordneten Paare (x, y) mit $x \in A$ und $y \in B$.
Bezeichnung: $A \times B$
$A \times B := {(x,y): x \in A \land y \in B}$
## n-Tupel
Bestehend aus n geordneten Elementen $(a_{1}, a_{2}, a_{c}, \dots, a_{n})$
Zwei n-Tupel sind genau dann gleich:
$a_{1}=b_{1} \land a_{2} = b_{2} \land a_{3} = b_{3} \land \dots \land a_{n} = b_{n}$
Bei folgenden Mengen
$A_{1}, A_{2}, ... ,A_{n}$
bezeichnen Mengen aller n-Tupel
$(a_{1}, b_{2}, ..., c_{n})$
mit der folgenden Eigenschaft
$a_{1} \in A_{1}, a_{2} \in A_{2}, ..., a_{n} \in A_{n}$
diese Menge
$A_{1} \times A_{2} \times ... \times A_{n}$
## Endliche Mengen
Endlich bedeutet, dass die Menge m (natürliche Zahl) verschiedene Elemente hat. Anderfalls ist die Menge unendlich.
Bezeichnung der Anzahl Elemente der Mengen:
$|A|$
Wenn A und B endliche Mengen sind, dann ist $A \cup B$ ebenfalls enldich:
$|A\cup B| = |A|+|B|-|A\cap B|$
## Einschluss-Ausschluss-Formeln
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