Funktionen

Eine Grösse y ist von einer anderen Grösse x abhängig.
f(x) -> Bild von x 
 Urbild 
 Wenn $y \in B$ dann ist $x \in A$ mit f(x) = y.
$y \in B$ kann kein, genau ein oder mehrere Urbilder haben. 
 Definitionsbereich 
 Menge A der Funktion f. 
 Zielbereich 
 Menge B der Funkction f. 
 Bild der Funktion f 
 Die Menge aller Elemente y denen ein x zugeordnet wird.
$f(x) = f(A) = { f(x):x \in A } \subset B$
Bild von x unter der Funktion f. 
 Graph einer Funktion 
 Der Graph G(f) der Funktion f ist die Menge
$G(f) = {(x, f(x)) : x \in A} \subset A \times B$ 
 Abrundungsfunktion 
 Ordnet jeder reellen Zahl x die grösste ganze Zahl zu. -> 4.154 -> 4 
 Aufrundungsfunktion 
 Ordnet jeder reellen Zahl die kleinste ganze Zahl zu. -> 4.154 = 5 
 Injektion 
 x = f(x) ist injektiv wenn:
$x_{1} \not = x_{2} \implies f(x_{1}) \not = f(x_{2})$
 
Jede Funktion schneidet nur einmal eine horizontale Gerade. 
 Surjektion 
 Falls jedes Element des Wertebereichs mindestens ein Urbild besitzt.
Wenn jedes $y \in B$ ein $x\in A$ besitzt.
 
 Bijektion 
 Wenn f injektiv und surjektiv ist. Jedes $y \in B$ besitzt genau ein Urbild.
 
 Übersicht injektiv, surjektiv, bijektiv 
 
 Verkettung 
 
 Umkehrfunktion 
 Wenn f(x) eine biijektive Funktion ist, existiert zu jedem $y \in B$ genau ein $x \in A$ mit f(x) = y.
Dies wird auch inverse Abbildung genannt. 
 Inverse Abbilung 
 $f(x) -> f^{-1}(x)$
Für jedes $x \in A$:
$(f^{-1}\circ f) (x) = f^{-1}(f(x))=x$
Die Umkehrfunktion setzt die Änderungen der Funktion zurück.
Wenn eine Funktion invertierbar ist, ist klar, dass sie bijektiv ist. 
 Mächtigkeit 
 Anzahl Elemente einer Menge. Gleichmächtig bedeutet |A| = |B|, wenn eine Bijektion zwischen A und B existiert. 
 Es gibt Teilmengen, die gleichmächtig zur gesamten Menge sind. 
 Eine Menge M heisst endlich & abzählbar, wenn es eine echte Teilmenge von M gibt, die sich bijektiv auf M abbilden lässt. 
 Die Menge der reellen Zahlen ist nicht mehr abzählbar:
0.24999... = 0.25 sind gleichmächtig.
Das nennt man auch überabzählbar.