# Funktionen

Eine Grösse y ist von einer anderen Grösse x abhängig.
f(x) -> Bild von x
## Urbild
Wenn $y \in B$ dann ist $x \in A$ mit f(x) = y.
$y \in B$ kann kein, genau ein oder mehrere Urbilder haben.
## Definitionsbereich
Menge A der Funktion f.
## Zielbereich
Menge B der Funkction f.
## Bild der Funktion f
Die Menge aller Elemente y denen ein x zugeordnet wird.
$f(x) = f(A) = \{ f(x):x \in A \} \subset B$
Bild von x unter der Funktion f.
## Graph einer Funktion
Der Graph G(f) der Funktion f ist die Menge
$G(f) = \{(x, f(x)) : x \in A\} \subset A \times B$
## Abrundungsfunktion
Ordnet jeder reellen Zahl x die grösste ganze Zahl zu. -> 4.154 -> 4
## Aufrundungsfunktion
Ordnet jeder reellen Zahl die kleinste ganze Zahl zu. -> 4.154 = 5
## Injektion
x = f(x) ist injektiv wenn:
$x_{1} \not = x_{2} \implies f(x_{1}) \not = f(x_{2})$
[![Pasted image 20231024164654.png](https://docs.lucanoahcaprez.ch/uploads/images/gallery/2023-10/scaled-1680-/pasted-image-20231024164654.png)](https://docs.lucanoahcaprez.ch/uploads/images/gallery/2023-10/pasted-image-20231024164654.png)
Jede Funktion schneidet nur einmal eine horizontale Gerade.
## Surjektion
Falls jedes Element des Wertebereichs mindestens ein Urbild besitzt.
Wenn jedes $y \in B$ ein $x\in A$ besitzt.
[![Pasted image 20231024164905.png](https://docs.lucanoahcaprez.ch/uploads/images/gallery/2023-10/scaled-1680-/pasted-image-20231024164905.png)](https://docs.lucanoahcaprez.ch/uploads/images/gallery/2023-10/pasted-image-20231024164905.png)
## Bijektion
Wenn f injektiv und surjektiv ist. Jedes $y \in B$ besitzt genau ein Urbild.
[![Pasted image 20231024164944.png](https://docs.lucanoahcaprez.ch/uploads/images/gallery/2023-10/scaled-1680-/pasted-image-20231024164944.png)](https://docs.lucanoahcaprez.ch/uploads/images/gallery/2023-10/pasted-image-20231024164944.png)
## Übersicht injektiv, surjektiv, bijektiv
[![Pasted image 20231024165003.png](https://docs.lucanoahcaprez.ch/uploads/images/gallery/2023-10/scaled-1680-/pasted-image-20231024165003.png)](https://docs.lucanoahcaprez.ch/uploads/images/gallery/2023-10/pasted-image-20231024165003.png)
## Verkettung
[![image-1698216350447.png](https://docs.lucanoahcaprez.ch/uploads/images/gallery/2023-10/scaled-1680-/image-1698216350447.png)](https://docs.lucanoahcaprez.ch/uploads/images/gallery/2023-10/image-1698216350447.png)
## Umkehrfunktion
Wenn f(x) eine biijektive Funktion ist, existiert zu jedem $y \in B$ genau ein $x \in A$ mit f(x) = y.
Dies wird auch inverse Abbildung genannt.
## Inverse Abbilung
$f(x) -> f^{-1}(x)$
Für jedes $x \in A$:
$(f^{-1}\circ f) (x) = f^{-1}(f(x))=x$
Die Umkehrfunktion setzt die Änderungen der Funktion zurück.
Wenn eine Funktion invertierbar ist, ist klar, dass sie bijektiv ist.
# Mächtigkeit
Anzahl Elemente einer Menge. Gleichmächtig bedeutet |A| = |B|, wenn eine Bijektion zwischen A und B existiert.

Es gibt Teilmengen, die gleichmächtig zur gesamten Menge sind.

Eine Menge M heisst endlich & abzählbar, wenn es eine echte Teilmenge von M gibt, die sich bijektiv auf M abbilden lässt.

Die Menge der reellen Zahlen ist nicht mehr abzählbar:
0.24999... = 0.25 sind gleichmächtig.
Das nennt man auch überabzählbar.