# Aussagenlogik

In der Aussagenlogik versteht man unter einer Aussage einen sprachlichen oder formalen Ausdruck, dem man genau einen der beiden möglichen Wahrheitswerte (w: wahr, f: falsch) zuordnen kann.
[![Pasted image 20231015103058.png](https://docs.lucanoahcaprez.ch/uploads/images/gallery/2023-10/scaled-1680-/pasted-image-20231015103058.png)](https://docs.lucanoahcaprez.ch/uploads/images/gallery/2023-10/pasted-image-20231015103058.png)
## Konjunktion
Nur W - W ist wirklich wahr.\
[![Pasted image 20231015095216.png](https://docs.lucanoahcaprez.ch/uploads/images/gallery/2023-10/scaled-1680-/pasted-image-20231015095216.png)](https://docs.lucanoahcaprez.ch/uploads/images/gallery/2023-10/pasted-image-20231015095216.png)
## Disjunktion
Nur F - F ist wirklich falsch.\
[![Pasted image 20231015095329.png](https://docs.lucanoahcaprez.ch/uploads/images/gallery/2023-10/scaled-1680-/pasted-image-20231015095329.png)](https://docs.lucanoahcaprez.ch/uploads/images/gallery/2023-10/pasted-image-20231015095329.png)
## Antivalenz / XOR
Nur dann wahr, wenn nur eins von $A \oplus B$ richtig ist

A|B|$A \oplus B$
---|---|---
W|W|F
W|F|W
F|W|W
F|F|F
## Negation
[![Pasted image 20231015100303.png](https://docs.lucanoahcaprez.ch/uploads/images/gallery/2023-10/scaled-1680-/pasted-image-20231015100303.png)](https://docs.lucanoahcaprez.ch/uploads/images/gallery/2023-10/pasted-image-20231015100303.png)\
Zusammengesetzte Aussagen:\
[![![[Pasted image 20231015100429.png]]](https://docs.lucanoahcaprez.ch/uploads/images/gallery/2023-10/scaled-1680-/pasted-image-20231015100429.png)](https://docs.lucanoahcaprez.ch/uploads/images/gallery/2023-10/pasted-image-20231015100429.png)
## Disjunktive Normalform
Wahrheitstabelle zu Aussage aufschlüsseln.
Jede Teilaussage muss dabei wahr sein und kann dann mit den anderen Teilaussagen über eine Disjunktion verknüpft werden.
### Kanonisch disjunktive Normalform
Jede Variable kommt genau einmal vor.
## Tautologien
Wenn alle Werte der Aussage wahr sind, unabhängig von den Werten der Variablen.
[![Pasted image 20231015102549.png](https://docs.lucanoahcaprez.ch/uploads/images/gallery/2023-10/scaled-1680-/pasted-image-20231015102549.png)](https://docs.lucanoahcaprez.ch/uploads/images/gallery/2023-10/pasted-image-20231015102549.png)
## Kontradiktionen
Wenn egal welcher Wert die Variablen haben, die Aussage immer Falsch ist.
[![Pasted image 20231015102706.png](https://docs.lucanoahcaprez.ch/uploads/images/gallery/2023-10/scaled-1680-/pasted-image-20231015102706.png)](https://docs.lucanoahcaprez.ch/uploads/images/gallery/2023-10/pasted-image-20231015102706.png)
## Logische Äquivalenz
Wenn zwei Aussagen die exakt gleiche Wahrheitstabelle haben.
P(A, B, ...) $\equiv$ Q(A, B, ...)
## Implikation
Ein Element verursacht ein anderes. Wenn A dann folgt B.
[![![
[Pasted image 20231015132040.png]]](https://docs.lucanoahcaprez.ch/uploads/images/gallery/2023-10/scaled-1680-/pasted-image-20231015132040.png)](https://docs.lucanoahcaprez.ch/uploads/images/gallery/2023-10/pasted-image-20231015132040.png)
### Zusammenhang
Wirkung zwischen Implikation, Umkehrung und Kontraposition.
[![Pasted image 20231015132716.png](https://docs.lucanoahcaprez.ch/uploads/images/gallery/2023-10/scaled-1680-/pasted-image-20231015132716.png)](https://docs.lucanoahcaprez.ch/uploads/images/gallery/2023-10/pasted-image-20231015132716.png)
## Äquivalenz
Gegenseitige Implikation der Inhalte.
[![Pasted image 20231015132832.png](https://docs.lucanoahcaprez.ch/uploads/images/gallery/2023-10/scaled-1680-/pasted-image-20231015132832.png)](https://docs.lucanoahcaprez.ch/uploads/images/gallery/2023-10/pasted-image-20231015132832.png)
### Andere Schreibweise
[![Pasted image 20231015133602.png](https://docs.lucanoahcaprez.ch/uploads/images/gallery/2023-10/scaled-1680-/pasted-image-20231015133602.png)](https://docs.lucanoahcaprez.ch/uploads/images/gallery/2023-10/pasted-image-20231015133602.png)
# Aussageformen
## Zahlenmenge
[![Pasted image 20231015133147.png](https://docs.lucanoahcaprez.ch/uploads/images/gallery/2023-10/scaled-1680-/pasted-image-20231015133147.png)](https://docs.lucanoahcaprez.ch/uploads/images/gallery/2023-10/pasted-image-20231015133147.png)
## Operanden
x $\in$ $\mathbb{R}$ -> Definitionsbereich der Variable x.
3|n -> n ist ein Teiler von 3.
## Quantoren
$\forall$ -> Allquantor für alle Elemente.
$\exists$ -> Existiert mindestens ein Element.
## Negation Existentaussage
$\exists x \in D : P(x) \equiv \forall x \in D: \lnot P(x)$
Entsprechend kann es so umgekehrt werden:
$\lnot(\exists x \in D : P(x)) \equiv \forall x \in D: \lnot P(x)$
## Negation Allaussage
$\lnot(\forall x \in D: P(x)) \equiv \exists x \in D: \lnot P(x)$
## Beweistechniken
### Indirekter Beweis
Implikation ist logisch äquivalent zu Kontraposition:
$A \implies B \equiv \lnot B \implies \lnot A$
Manchmal einfacher zum Beweisen ist die Kontraposition.
### Beweis durch Widerspruch
Hypothese: 
$\lnot A \implies B$  
Ergibt einen Wirderspurch mit der wahren Aussage:
$\lnot A \implies \lnot B$
# Aussagenlogik vs Mengenlehre
Aussage:
$x \in A$

Mengenangabe:
$A \cap B$